线性方程组的矩阵解法——克莱姆法则

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最新推荐文章于 2025-09-03 16:25:25 发布

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#线性代数

数学

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本文详细介绍了如何使用克莱姆法则求解线性方程组，通过计算系数矩阵的行列式来判断方程组是否有唯一解，并给出了具体的计算步骤和实例解析。

设线性方程组为

{a11x1+a11x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2......an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn

\begin{cases}

a_{11}x_1+a_{11}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\

a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\

......\\

a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\

\end{cases}

⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​a11​x1​+a11​x2​+⋯+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​=b2​......an1​x1​+an2​x2​+⋯+ann​xn​=bn​​

其系数行列式为

D=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣≠0

D=\begin{vmatrix}

a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\

a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\

a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}

\end{vmatrix} \not=0

D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​​=0

则该线性方程组有且仅有唯一解：

x1=D1D,x2=D2D,⋯ ,xn=DnD

x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots,x_n=\frac{D_n}{D}

x1​=DD1​​,x2​=DD2​​,⋯,xn​=DDn​​

其中Dj(j=1,2,…,n)D_j(j=1,2,\ldots,n)Dj​(j=1,2,…,n)是把系数行列式DDD中的第jjj列的元素用常数项b1,b2,…,bnb_1,b_2,\ldots,b_nb1​,b2​,…,bn​代替后得到的nnn阶行列式，即

Dj=∣a11⋯a1,j−1b1a1,j+1⋯a1na21⋯a2,j−1b1a1,j+1⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1⋯an,j−1b1a1,j+1⋯ann∣

D_j = \begin{vmatrix}

a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n} \\

a_{21}&\cdots&a_{2,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{2n} \\

\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\

a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{nn}

\end{vmatrix}

Dj​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​⋯⋯⋮⋯​a1,j−1​a2,j−1​⋮an,j−1​​b1​b1​⋮b1​​a1,j+1​a1,j+1​a1,j+1​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

举例

{2x1+3x2−5x3=3x1−2x2+x3=03x1+x2+3x3=7

\begin{cases}

2x_1+3x_2-5x_3=3\\

x_1-2x_2+x_3=0\\

3x_1+x_2+3x_3=7\\

\end{cases}

⎩⎪⎨⎪⎧​2x1​+3x2​−5x3​=3x1​−2x2​+x3​=03x1​+x2​+3x3​=7​

解：

D=∣23−51−21313∣=∣27−7100370∣=−∣7−770∣=−49≠0

D=

\begin{vmatrix}

2&3&-5\\

1 & -2 & 1\\

3 & 1 &3\\

\end{vmatrix}=

\begin{vmatrix}

2 & 7 & -7\\

1 & 0 & 0\\

3 & 7 & 0\\

\end{vmatrix}=-

\begin{vmatrix}

7&-7\\

7 &0\\

\end{vmatrix}=-49\not=0

D=∣∣∣∣∣∣​213​3−21​−513​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​213​707​−700​∣∣∣∣∣∣​=−∣∣∣∣​77​−70​∣∣∣∣​=−49​=0

D1=∣33−50−21713∣=∣27−7100370∣=−∣3−777∣=−70

D_1=

\begin{vmatrix}

3&3&-5\\

0 & -2 & 1\\

7 & 1 &3\\

\end{vmatrix}=

\begin{vmatrix}

2 & 7 & -7\\

1 & 0 & 0\\

3 & 7 & 0\\

\end{vmatrix}=-

\begin{vmatrix}

3 & -7\\

7 & 7\\

\end{vmatrix}=-70

D1​=∣∣∣∣∣∣​307​3−21​−513​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​213​707​−700​∣∣∣∣∣∣​=−∣∣∣∣​37​−77​∣∣∣∣​=−70

x1=D1D=−70−49=107

x_1=\frac{D_1}{D}=\frac{-70}{-49}=\frac{10}{7}

x1​=DD1​​=−49−70​=710​

其余两个解同理。